Valeur actualisée nette et taux de rendement interne (Finance)
Valeur actuelle nette
La valeur du cash-flow net au temps $t=0$ est appelée la valeur actualisée nette. Afin d'obtenir la valeur actuelle nette, il faut actualiser chaque paiement jusqu'à 0 $, puis les additionner tous.
Supposons que vous gagniez $x_1$ au temps $1$, $x_2$ au temps $2$ et ainsi de suite jusqu'à $x_n$ au temps n. Alors la VAN est donnée par :\[\text{VAN }=x_1 v^1+x_2 v^2+x_3 v^3+\ldots+x_n v^n\] Rappelque $v=\frac{1}{1+i}$.
Exemple travaillé 1
Exemple travaillé
Supposons qu'un constructeur achète une parcelle de terrain au moment de 0 $ pour 50 000 $ £. Un mois plus tard, il verse des salaires pour un total de 60 000 $ £. Il achète d'autres matériaux de construction d'une valeur de 30 000 $ trois mois après avoir acheté le terrain. Il vend la maison qu'il a fait construire pour 150 000$£ au bout d'un an.
Quelle est la valeur actualisée nette si :
a) Le taux d'intérêt est de 6 $\%$ ?
b) Le taux d'intérêt est de 10 $\%$ ?
Solution
a) \begin{align} \text{NPV}&=-50,000-\dfrac{60,000}{(1+0.06)^{\left(\frac{1}{12}\right)}~} -\frac {30 000}{(1+0,06)^{0,25}~} +\frac{150 000}{(1+0,06)},\\ &\approx£2 233,92. \end{aligner}
b) \begin{align} \text{NPV}&= -50 000-\frac{60 000}{(1+0,1)^{\left(\frac{1}{12}\right)}~} -\frac {30 000}{(1+0,1)^{0,25}~} +\frac{150 000}{(1+0,1)}, \\ &\approx-£2 455,32. \end{aligner}
Taux de rendement interne
Le taux de rendement interne (ou rendement) est le taux d'intérêt auquel la valeur actualisée nette est égale à zéro, c'est-à-dire VAN$(i)=0$.
Le TRI peut être positif, négatif et parfois il peut n'y avoir aucune solution, une solution unique ou il peut y avoir plusieurs solutions.
Afin d'approximer la valeur actualisée nette, on peut utiliser une interpolation linéaire. Pour l'utiliser, vous devez avoir une valeur actuelle nette positive -et l'intérêt qui donne cette valeur- et une valeur actuelle nette négative avec le taux d'intérêt correspondant.
Pour approximer le TRI, on peut utiliser la formule suivante :\[i_{*}=i_1+\frac{i_2-i_1}{y_2-y_1}(y_{*}-y_1)\]où:
- $i_{*}=$ le taux d'intérêt qui donne une VAN de zéro
- $i_1=$ le taux d'intérêt qui donne une VAN positive
- $i_2=$ le taux d'intérêt qui donne une VAN négative
- $y_1=$ VAN positive
- $y_2=$ VAN négative
- $y_{*}=0$
Exemple travaillé 2
Exemple travaillé
À l'aide de l'exemple ci-dessus, évaluez le taux de rendement interne à l'aide d'une interpolation linéaire.
Solution
\begin{align} \text{NPV}(6\%)&=2 233,92 £\\ \text{NPV}(10\%)&=-2 455,32 £\\ i_{*}&=0,06+\frac{0,1 -0,06}{-2455,32-2233,92}(0-2233,92)\\ \Rightarrow i_{*}&=0,07905571052\\ \Rightarrow i_{*}&\environ7,91\%. \end{aligner}
Exemple vidéo
Le Dr Graham Murphy résolvant un problème de valeur actualisée nette et de taux de rendement interne.
