Mathématiques boursières : concepts essentiels pour le trading algorithmique (2024)

ParChainika Thakar

On pourrait souvent réfléchir à la nécessité de comprendre et d'apprendre les mathématiques boursières.

• Quel est le besoin d'apprendre les mathématiques pour les marchés boursiers ?
• Où puis-je en savoir plus sur l'application des mathématiques dans les marchés boursiers ?
• Quelles sont les bases des mathématiques boursières ?

Beaucoup visent à apprendre le trading algorithmique du point de vue mathématique. Divers concepts mathématiques, statistiques, économétrie jouent un rôle essentiel pour donner à votre négociation d'actions cet avantage sur le marché boursier.

Voici une liste complète de tout ce qui concerne les mathématiques boursières :

• Qu'est-ce qu'un commerçant ?
• Qu'est-ce qu'un analyste quantitatif ou quantitatif ?
• Pourquoi le trading algorithmique nécessite-t-il des mathématiques ?
• Quand et comment les mathématiques sont arrivées au trading : une visite historique
• Concepts mathématiques pour les marchés boursiers
• Statistiques descriptives
  • Mesure de la tendance centrale
    • Moyenne
    • Médian
    • Mode
  • Mesure de dispersion
    • Gamme
    • Écart quartile
  • Signifie une déviation absolue
    • Variance
    • Écart-type
  • Visualisation
    • Histogramme
    • Diagramme à bandes
    • Diagramme circulaire
    • Graphique en ligne
• Théorie des probabilités
  • Simulation de Monte-Carlo
  • Marche au hasard
• Algèbre linéaire
  • Qu'est-ce que l'algèbre linéaire ?
  • Que sont les matrices ?
  • Quels sont les vecteurs ?
• Régression linéaire
  • En quoi le Machine Learning est-il utile pour créer des algorithmes ?
  • Calcul de la régression linéaire
• Calcul

Avant de commencer les concepts mathématiques detrading algorithmique, comprenons commentl'impératif est mathématiquedans le commerce.

Et avant cela, jetons un œil àdeux éléments importantsdu même, qui est un Trader et un Analyste Quant/Quantitatif.

Qu'est-ce qu'un commerçant ?

En termes simples, toute personne qui achète et vendactifs financiersdans tousmarché financierest commerçant. Cet individu ou commerçant peut également négocier au nom de toute autre personne ici.

Un trader est généralement quelqu'un qui négocie sur des périodes plus courtes par rapport à un investisseur. Cela signifie simplement qu'un trader détient des actifs pendant une courte période pour réaliser des bénéfices sur les tendances à court terme. Alors qu'un investisseur a tendance à détenir des actifs à plus long terme.

Qu'est-ce qu'un analyste quantitatif ou quantitatif ?

Un analyste quantitatif est celui qui conçoit un cadre complexe pourinstitutions financièresqui les aide à fixer le prix et à négocier des titres sur le marché financier. Les quants peuvent être de deux types :

• Quants front office - Ce sont ceux qui fournissent directement au trader le prix des titres financiers ou des outils de trading.
• Quants back office - Ces quants sont là pour valider le cadre et créer de nouvelles stratégies après avoir mené des recherches approfondies.

Pour aller de l'avant, découvrons maintenant plus sur le trading algorithmique et son association avec les mathématiques.

Pourquoi le trading algorithmique nécessite-t-il des mathématiques ?

Habituellement, lorsque les quants travaillent, ils gardent un œil sur les performances du marché. Mais la partie intéressante est :

"Comment les quants prédisent-ils ou prévoient-ils sur la base dedonnées du marché?"

Et la réponse est : ils le font avecMATHÉMATIQUES!

En creusant plus profondément, dans ce processus, les données sont achetées à la bourse et sont analysées. C'est alors sur la base de cedonnées boursièresqu'ils viennent avec le pourcentage possible de cotes (disons, 65% ou 75% et ainsi de suite) en ce qui concerne les mouvements des prix des actions.

Ceci est connu comme :

"Prédire/prévoir la possibilité des prix des actions à long terme ou à court terme".

Les personnes impliquées dans la création d'algorithmes pourTrading haute fréquence (HFT)garder à l'esprit l'implication d'un grand nombre de métiers sur une courte période.

Par exemple, en une milliseconde, le prix peut monter ou descendre, et ainsi, des milliers de transactions se produisent à chaque seconde qui passe en HFT.

Quand et comment les mathématiques sont arrivées au trading : une visite historique

Or, ce n'est qu'à la fin des années soixante que les mathématiciens ont fait leur première entrée dans le monde financier du Stock Trading.

Tout a commencé avec un professeur de mathématiques appelé Edward Thorp, à l'Université de Californie, qui a publié un livre intitulé Beat the Market en 1967.

• Dans ce livre, il affirmait avoir fourni le moyen infaillible de gagner de l'argent en bourse.
• De plus, cette méthode/manière était entièrement basée sur un système qu'il avait conçu pour battre les casinos au blackjack.
• On dit qu'il est devenu extrêmement célèbre grâce à quoi les casinos ont été forcés de changer leurs règles pour « battre le marché ».

Plus précisément, le concept Beat the Market n'était rien d'autre que le processus de vente des actions et des obligations à un prix, puis de les racheter à un prix inférieur.

• Cette stratégie est devenue si populaire et efficace qu'Edward Thorp a fondé un fonds spéculatif nommé Princeton/Newport Partners.
• Ce fonds spéculatif a ensuite régné sur les marchés et est donc devenu une stratégie à part entière.
• Peu de temps après, une génération de physiciens est entrée sur le marché du travail déprimé.
• En observant le montant d'argent qui pourrait être fait à Wall Street, beaucoup d'entre eux se sont déplacés vers la finance en conséquence.

Il a également été observé qu'en Grande-Bretagne, la chute de l'Union soviétique a entraîné un afflux de scientifiques du Pacte de Varsovie. Par conséquent, ils ont apporté avec eux une nouvelle méthodologie basée sur le concept d '«analyse des données» ainsi que la compréhension qu'une puissance de feu informatique suffisante peut aider à prédire le marché.

• Cela a amené un nouveau concept d'analyse quantitative et un génie des mathématiques nommé Jim Simons est devenu célèbre en apportant suffisamment de connaissances dans le domaine particulier.
• En 1982, Jim Simons a également fondé une société de gestion de fonds spéculatifs exceptionnelle appelée Renaissance Technologies.

Dans l'ensemble, c'était le mémoire sur "comment les mathématiques ont décollé dans le trading algorithmique" et c'est un tel succès.

Passons maintenant aux concepts mathématiques du trading algorithmique qui sont au cœur de cet article.

Concepts mathématiques pour les marchés boursiers

En commençant par les mathématiques pour le trading d'actions, il est indispensable de mentionner que les concepts mathématiques jouent un rôle important dans le trading algorithmique. Examinons ici les grandes catégories de différents concepts mathématiques :

• Statistiques descriptives
• Théorie des probabilités
• Algèbre linéaire
• Régression linéaire
• Calcul

Statistiques descriptives

Passons en revue les statistiques descriptives, qui résument un ensemble de données donné avec de brefs coefficients descriptifs. Il peut s'agir d'une représentation de l'ensemble ou d'un échantillon de la population.

Mesure de la tendance centrale

Ici, la moyenne, la médiane et le mode sont les mesures de base de la tendance centrale. Celles-ci sont très utiles lorsqu'il s'agit d'extraire la valeur moyenne d'un ensemble de données composé de différentes valeurs. Comprenons chaque mesure une par une.

Moyenne

Celui-ci est le concept le plus utilisé dans les différents domaines concernant les mathématiques et en termes simples, c'est la moyenne de l'ensemble de données donné. Ainsi, si nous prenons cinq nombres dans un ensemble de données, disons 12, 13, 6, 7, 19, 21, la formule de la moyenne est

ce qui en fait :

(12 + 13 + 6 + 7 + 19 + 21)/6 = 13

En outre, le commerçant essaie d'initier le commerce sur la base de la moyenne (moyenne mobile) oucroisem*nt de moyenne mobile.

Ici, comprenons deux types de moyennes mobiles en fonction des plages (nombre de jours) de la période dans laquelle elles sont calculées et du croisem*nt de la moyenne mobile :

1. Moyenne mobile plus rapide(Période plus courte) -

Une moyenne mobile plus rapide est la moyenne d'un ensemble de données (cours des actions) calculée sur une courte période, disons les 20 derniers jours.

2.Moyenne mobile plus lente(Période plus longue) -

Une moyenne mobile plus lente est celle qui est la moyenne d'un ensemble de données (cours des actions) calculée à partir d'une période plus longue, disons 50 jours.

Maintenant, une moyenne mobile plus rapide et une moyenne mobile plus lente arrivent également ensemble à une position où un« croisé »se produit.

Selon Wikipédia,

"Un croisem*nt se produit lorsqu'une moyenne mobile plus rapide (c'est-à-dire une moyenne mobile sur une période plus courte) croise une moyenne mobile plus lente (c'est-à-dire une moyenne mobile sur une période plus longue). En d'autres termes, c'est lorsque la ligne moyenne mobile de période plus courte croise une ligne moyenne mobile de période plus longue.

Ici, pour mieux l'expliquer, l'image graphique ci-dessus montre trois lignes mobiles. Le bleu montre la ligne de tendance des cours boursiers en général. Il est ensuite désintégré en lignes vertes et oranges. Le vert indique un ralentissem*ntmoyenne mobileet l'orange indique une moyenne mobile plus rapide.

Maintenant, en commençant par la ligne verte (moyenne mobile plus lente), toute la ligne de tendance montre les variations moyennes des cours des actions sur des périodes plus longues. La ligne de tendance suit un motif en zigzag et il existe différents croisem*nts.

Par exemple, il y a un croisem*nt entre octobre 2018 et janvier 2019 où la ligne orange (moyenne mobile plus rapide) vient d'en haut et croise la verte (moyenne mobile plus lente) en descendant. Cela indique que tout individu ou entreprise vendrait les actions à ce stade, car cela montre un effondrement du marché.

Ce point de croisem*nt est appelé « point de rencontre ». Après le point de rencontre, devant les deux lignes descendent puis remontent après un point pour créer un ou plusieurs croisem*nts (puis d'autres).

Puisqu'il y a de nombreux croisem*nts dans le graphique, vous devriez être en mesure d'identifier chacun d'eux par vous-même maintenant.

Maintenant, il est très important de noter ici que le "point de rencontre" est considéré comme haussier si la moyenne mobile la plus rapide croise la moyenne mobile la plus lente et va au-delà dans le sens ascendant.

Au contraire, il est considéré comme baissier si la moyenne mobile la plus rapide tombe en dessous de la moyenne mobile la plus lente et va au-delà vers le bas. Il en est ainsi parce que dans le premier scénario, cela montre qu'en peu de temps, il y a eu une tendance à la hausse pour des actions particulières.

Alors que, dans ce dernier scénario, il montre qu'au cours des derniers jours, il y avait une tendance à la baisse.

Par exemple, nous prendrons les mêmes instances de la moyenne mobile sur 20 jours pour une moyenne mobile plus rapide et de la moyenne mobile sur 50 jours pour une moyenne mobile plus lente.

Si la moyenne mobile de 20 jours augmente et croise la moyenne mobile de 50 jours, il affichera unmarché haussierpuisqu'il indique une tendance à la hausse des actions des 20 derniers jours.

Alors que si la moyenne mobile à 20 jours passe en dessous de la moyenne mobile à 50 jours, il serabaissiercar cela signifie que les actions ont chuté au cours des 20 derniers jours.

Selon Wikipédia,

"Dans l'investissem*nt en actions, ce point de rencontre est utilisé soit pour entrer (acheter ou vendre) soit pour sortir (vendre ou acheter) du marché."

En bref, la moyenne est un indicateur statistique utilisé pour estimer la performance des actions d'une entreprise ou même du marché sur une période de temps. Cette période de temps peut être des jours, des mois et même des années.

À l'avenir, la moyenne peut également être calculée à l'aide d'une feuille Excel, avec la formule suivante :

=Moyenne(B2 : B6)

Comprenons ce que nous avons fait dans l'image ci-dessus. L'image montre le plafond des actions de différentes entreprises appartenant à une industrie sur une période de temps (peut être des jours, des mois ou des années).

Maintenant, pour obtenir la moyenne mobile (moyenne) de cette industrie au cours de cette période particulière, nous avons besoin que la formule = (Moyenne (B2 : B6)) soit appliquée au « Cours moyen des actions ». Cette formule donne la commande à Excel de faire la moyenne des cours des actions de toutes les sociétés mentionnées de la ligne B2 à B6.

Lorsque nous appliquons cette formule et appuyons sur "Entrée", nous obtenons le résultat 330. C'est l'une des méthodes les plus simples pour calculer la moyenne. Voyons comment calculer la même chose dans le code python à venir.

Pour une utilisation ultérieure, dans tous les concepts, supposons des valeurs sur la base de l'ensemble de données d'Apple (AAPL).Afin de le garder universel, nous avons pris les données quotidiennes sur le cours des actions d'Apple, Inc. du 26 décembre 2018 au 26 décembre 2019. Vous pouvez télécharger les données historiques à partir deYahoo finance.

Maintenant, pour télécharger les données de prix de clôture d'Apple, nous utiliserons ce qui suit pour tous les calculs basés sur le code python à venir :

importer yfinance en tant que yfaapl = yf.download('AAPL','2018-12-26', '2019-12-26')

En python, pour sortir la moyenne des cours de clôture, le code sera le suivant :

moyenne = np.mean (aapl[‘Adj Close’])print(mean)

La sortie est : 330

Nous verrons ensuite en quoi la médiane diffère de la moyenne et comment la calculer.

Médian

Parfois, les valeurs de l'ensemble de données peuvent avoir quelques valeurs extrêmes, ce qui peut amener la moyenne de l'ensemble de données à présenter une image incorrecte. Ainsi, nous utilisons la médiane, qui donne la valeur médiane de l'ensemble de données triées.

Pour trouver la médiane, vous devez organiser les nombres dans l'ordre croissant, puis trouver la valeur médiane. Si le jeu de données contient un nombre pair de valeurs, vous prenez la moyenne des deux valeurs du milieu. Par exemple, si la liste des nombres est : 12, 13, 6, 7, 19, alors,

Dans l'ordre croissant, les nombres sont : 6, 7, 12, 13, 19

Maintenant, nous savons qu'il y a au total 5 nombres et la formule de la médiane est :

(n+1)/2 valeur.

Par conséquent, ce sera n = 5 et

(5+1)/2 valeur sera 6/2= 3ème valeur.

Ici, la 3ème valeur de la liste est 12.

Ainsi, la médiane devient12ici.

Principalement, l'avantage de la médiane est que contrairement à la moyenne, elle reste extrêmement valable en cas de valeurs extrêmes de jeu de données, ce qui est le cas pour les actions.

La médiane est requise dans le cas où la moyenne doit être calculée à partir d'un grand ensemble de données, dans lequel la médiane montre une moyenne qui est une meilleure représentation de l'ensemble de données.

Par exemple, dans le cas où l'ensemble de données est donné comme suit avec des valeurs en INR :

75 000, 82 500, 60 000, 50 000, 1 00 000, 70 000 et 90 000.

Le calcul de la médiane nécessite que les prix soient d'abord placés dans l'ordre croissant, ainsi, les prix dans l'ordre croissant sont :

50 000, 60 000, 70 000, 75 000, 82 500, 90 000, 1 00 000

Maintenant, le calcul de la médiane sera :

Comme il y a 7 items, la médiane est (7+1)/2 item, ce qui en fait le 4e item. Le 4ème article dans l'ordre croissant est INR 75 000.

Comme vous pouvez le voir, INR 75 000 est une bonne représentation de l'ensemble de données, donc ce sera idéal.

Dans le monde financier, où les prix du marché varient à maintes reprises, la moyenne peut ne pas être en mesure de représenter correctement les grandes valeurs. Ici, il était possible que la valeur moyenne n'ait pas pu représenter le grand ensemble de données.

Il faut donc utiliser la médiane pour trouver la seule valeur qui représente correctement l'ensemble des données.

La feuille Excel aide de la manière suivante à calculer la médiane :

=Médian(B2:B6)

Dans le cas de Median également, dans l'image ci-dessus, nous avons les cours des actions de différentes sociétés appartenant à un secteur particulier sur une période de temps (peut être des jours, des mois ou des années).

Ici, pour obtenir la moyenne mobile (médiane) de l'industrie au cours de cette période particulière, nous avons utilisé la formule = Médiane (B2 : B6). Cette formule donne la commande à Excel pour calculer la médiane et lorsque nous entrons la même chose, nous obtenons le résultat 100.

Apprenons à calculer dans le code python.

Le code python ici sera :

median = np.median (aapl[‘Adj Close’])print(median)

La sortie est : 100

Super! Maintenant que vous avez une bonne idée de la moyenne et de la médiane, passons maintenant à une autre méthode.

Mode

Le mode est un concept très simple puisqu'il prend en considération ce nombre dans l'ensemble de données qui est répétitif et qui se produit le plus. En outre, le mode est appelé valeur modale, représentant le nombre le plus élevé d'occurrences dans le groupe de données.

Il est également intéressant de noter que, comme la moyenne et la médiane, un mode est une valeur qui représente l'ensemble des données. Il est extrêmement impératif de noter que, dans certains cas, il est possible qu'il y ait plus d'un mode dans un ensemble de données donné. Et cet ensemble de données qui a deux modes sera appelé bimodal.

Dans la feuille excel, le mode peut être calculé comme suit :

=Mode.SNGL(B1 : B5)

Semblable à la moyenne et à la médiane, le mode peut également être calculé dans la feuille Excel, comme indiqué dans l'image ci-dessus. Par exemple, vous pouvez mettre les valeurs de différentes entreprises dans la feuille excel et sortir le Mode avec la formule =Mode.SNGL(B1 : B5)

(B1 : B5) - représente les valeurs de la cellule B1 à B5

Maintenant, si nous prenons les cours de clôture d'Apple du 26 décembre 2018 au 26 décembre 2019, nous constaterons qu'il n'y a pas de valeur répétitive, et donc le mode de cours de clôture n'existe pas.

Ainsi lorsque vous essayez de calculer le Mode en python avec le code suivant :

import statisticsmode = statistics.mode (aapl[‘Adj Close’])

Il lancera l'erreur suivante :

Par conséquent, le mode n'a pas de sens tout en observant les valeurs des cours de clôture.

En ce qui concerne l'importance du mode, il est particulièrement utile lorsque vous devez retirer le cours de l'action répétitive de la période précédente.

Cette période de temps peut être des jours, des mois et même des années. Fondamentalement, le mode des données vous aidera à comprendre si le même cours de l'action devrait se répéter à l'avenir ou non.

En outre, le mode est mieux utilisé lorsque vous souhaitez tracer des histogrammes et visualiser la distribution de fréquence.

Incroyable! Ceci vous amène à la fin des Mesures de Tendance Centrale. Deuxièmement, dans la liste des statistiques descriptives se trouve la mesure de la dispersion. Jetons un coup d'œil à un autre concept intéressant.

Mesure de dispersion

Vous trouverez la signification de « Mesure de la dispersion » directement dans son titre, car il affiche la dispersion des données autour du point central.

Il indique simplement la variation de chaque valeur de données les unes par rapport aux autres, ce qui aide à donner une représentation de la distribution des données. De plus, il dépeint l'hom*ogénéité et l'hétérogénéité de la distribution des observations.

En bref, il montre simplement à quel point les données entières varient par rapport à leur valeur moyenne.

La mesure de la dispersion peut être divisée en :

• Gamme
• Écart quartile
• Signifie une déviation absolue
• Variance
• Écart-type

Maintenant, comprenons le concept de chaque catégorie.

Gamme

C'est la plus simple de toutes les mesures de dispersion et elle est également facile à comprendre. La plage implique simplement la différence entre deux observations ou nombres extrêmes de l'ensemble de données.

Par exemple, soit X max et X min deux observations ou nombres extrêmes. Ici, Range sera la différence entre les deux.

Ainsi,

Plage = X max - X min

Il est également très important de noter que les analystes Quant suivent de près les ranges. Cela se produit parce que les fourchettes déterminent les points d'entrée et de sortie des transactions. Non seulement les transactions, mais Range aide également les commerçants et les investisseurs à contrôler les périodes de négociation.

Cela rend les investisseurs et les commerçants se livrer àStratégies de trading liées à la gamme, ce qui implique simplement de suivre une ligne de tendance particulière.

Les lignes de tendance sont formées par :

• actions à prix élevé (suivant une ligne de tendance supérieure) et
• actions à bas prix (suivant une ligne de tendance inférieure)

En cela, le trader peut acheter le titre sur la ligne de tendance inférieure et le vendre sur une ligne de tendance supérieure pour réaliser des bénéfices.

Ainsi, en python, ce code simple pourra trouver les valeurs nécessaires pour vous :

aapl [‘Adj Fermer’].describe()

La sortie est :

Voyons comment fonctionne une autre mesure, Quartile Deviation.

Écart quartile

C'est le type qui divise un ensemble de données en trimestres. Il se compose du premier quartile comme Q1, du deuxième quartile comme Q2 et du troisième quartile comme Q3.

Ici,

Q1 - est le nombre qui se situe entre le plus petit et la médiane des données (1/4) ou les 25 % supérieurs

Q2 - est la médiane des données ou

Q3 - est le nombre qui se situe entre la médiane des données et le plus grand nombre (3/4) ou moins de 25 %

n - est le nombre total de valeurs

Et la formule pour l'écart quartile est Q = ½ * (Q3 - Q1)

Depuis,

Q1 correspond aux 25 % supérieurs, la formule pour Q1 est - ¼ (n+1)

Q3 est également 25 %, mais le plus bas, donc la formule est - ¾ (n+1)

Par conséquent, écart quartile = ½ * [(¾ (n+1) - ¼ (n+1)]

Le principal avantage, ainsi que l'inconvénient de l'utilisation de cette formule, est qu'elle utilise la moitié des données pour montrer la dispersion par rapport à la moyenne ou à la moyenne.

Vous pouvez utiliser ce type de mesure de dispersion pour étudier la dispersion des observations qui se situent au milieu.

Ce type de mesures de dispersion vous aide à comprendre la dispersion par rapport à la valeur observée et, par conséquent, à différencier les grandes valeurs des différents trimestres.

Dans le monde financier, lorsque vous devez étudier un grand ensemble de données (cours des actions) à différentes périodes et que vous souhaitez comprendre la valeur dispersée (prix) à partir d'une valeur observée (moyenne-médiane), l'écart quartile peut être utilisé.

Le code python ici consiste à supposer une série de 10 nombres aléatoires :

from numpy import percentile# calculate quartilesAll_quartiles = percentile(aapl['Adj Close'], [25, 50, 75])# calculate min/maxMinimum, Maximum = aapl['Adj Close'].min(), aapl['Adj Close'].max()# imprime le résumé à cinq chiffresprint(Minimum)print(All_quartiles[0]) #1 Quartileprint(All_quartiles[1]) #2 Quartileprint(All_quartiles[2]) #3 Quartileprint(Maximum)IQR = All_quartiles [2] - Tous_quartiles[0]IQR

La sortie est :

Génial, aller de l'avant, l'écart absolu moyen est encore une autre mesure qui est expliquée plus loin.

Signifie une déviation absolue

Ce type de dispersion est lemoyenne arithmétiquedes écarts entre les nombres d'un ensemble de données donné et leur moyenne ou médiane (moyenne).

Ainsi,

La formule de l'écart absolu moyen est :

(D0 + D1 + D2 + D3 + D4 ….Dn)/ n

Ici,

n = nombre total d'écarts dans l'ensemble de données et

D0, D1, D2, D3 sont les écarts de chaque valeur par rapport à la moyenne ou à la médiane ou à la moyenne dans l'ensemble de données et Dn signifie la valeur finale dans l'ensemble de données.

Expliquant l'écart moyen, nous allons jeter un œil à l'image ci-dessous, qui montre une "moyenne calculée" d'un ensemble de données et la différence entre chaque valeur (dans l'ensemble de données) par rapport à la valeur moyenne. Ces différences ou écarts sont représentés par D0, D1, D2 et D3, …..D7.

Pour une instance, si les valeurs moyennes sont les suivantes :

Ensuite, la moyenne ici sera calculée à l'aide de la formule moyenne :

3 + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16 / 8 = 9

Comme la moyenne s'avère être 9, l'étape suivante consiste à trouver l'écart de chaque valeur de données par rapport à la valeur moyenne. Alors, calculons les écarts, ou soustrayons 9 de chaque valeur pour trouver D0, D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7 et D8, ce qui nous donne les valeurs telles quelles :

Comme nous sommes maintenant clairs sur tous les écarts, voyons la valeur moyenne et tous les écarts sous la forme d'une image pour obtenir encore plus de clarté sur le même :

Par conséquent, à partir d'un grand ensemble de données, l'écart moyen représente avec précision les valeurs requises par rapport à la valeur des données observées.

En code python, le calcul de l'écart moyen est le suivant :

à partir de la moyenne d'importation numpy, absolue Mean_deviation = mean(absolute(aapl['Adj Close'] - mean(aapl['Adj Close'])))Mean_deviation

La sortie est 26.252199899582642

Il est important de noter que l'écart moyen aide avec un grand ensemble de données avec différentes valeurs, ce qui est particulièrement le cas dans lebourse.

À l'avenir, la variance est un concept connexe et est expliqué plus en détail.

Variance

La variance est une mesure de dispersion qui suggère la moyenne des différences par rapport à la moyenne, de la même manière que l'écart moyen, mais ici les écarts sont au carré.

Donc,

Ici, N = nombre de valeurs dans l'ensemble de données et

D0, D1, D2, D3 sont l'écart de chaque valeur de l'ensemble de données par rapport à la moyenne.

Ici, en prenant les valeurs de l'exemple ci-dessus, nous mettons simplement au carré chaque écart, puis divisons la somme des valeurs déviées par le nombre total de la manière suivante :

En code python, c'est comme suit :

variance = np.var (aapl['Adj Close'])variance

La sortie est 1154,50. Passons maintenant à une autre mesure appelée écart type.

Écart-type

En termes simples, l'écart type est un calcul de la répartition des nombres dans un ensemble de données. Le symbole (sigma) représente l'écart type et la formule est :

Aussi,

est la formule de l'écart type.

Ici, prenons les mêmes valeurs que dans les deux exemples ci-dessus et calculons la variance. Ainsi,

De plus, dans le code python, l'écart type peut être calculé à l'aide de la bibliothèque matplotlib, comme suit :

std = np.std(aapl['Adj Close'])std

La sortie est : 34.0586724687285

Tous les types de mesure d'écart font ressortir la valeur requise de celle observée dans un ensemble de données afin de vous donner un aperçu parfait des différentes valeurs d'une variable, qui peuvent être le prix, le temps, etc.

Il est important de noter que les données absolues moyennes, la variance et l'écart type aident tous à différencier les valeurs de la moyenne dans un grand ensemble de données donné.

Visualisation

La visualisation aide les analystes à décider sur la base d'une distribution organisée des données. Il existe quatre types d'approche de visualisation, qui sont :

• Histogramme
• Diagramme à bandes
• Diagramme circulaire
• Graphique en ligne

Histogramme

Les groupes d'âge

Ici, dans l'image ci-dessus, vous pouvez voir l'histogramme avec des données aléatoires sur l'axe des x (groupes d'âge) et l'axe des y (fréquence). Puisqu'il examine une grande quantité de données de manière résumée, il est principalement utilisé pour décrire une seule variable.

Par exemple, l'axe des x représente les groupes d'âge de 0 à 100 ans et l'axe des y représente la fréquence de rattrapage avec le contrôle oculaire de routine entre les différents groupes d'âge. La représentation de l'histogramme montre qu'entre le groupe d'âge 40 et 50 ans, la fréquence des personnes se présentant était la plus élevée.

Étant donné que l'histogramme ne peut être utilisé que pour une seule variable, passons à autre chose et voyons en quoi le graphique à barres diffère.

Diagramme à bandes

Dans l'image ci-dessus, vous pouvez voir le graphique à barres. Ce type de visualisation vous aide à analyser la valeur de la variable sur une période de temps.

Par exemple, le nombre de ventes au cours des différentes années de différentes équipes. Vous pouvez voir que le graphique à barres ci-dessus montre deux années indiquées comme Période 1 et Période 2.

• Dans la période 1 (première année), l'équipe 2 et l'équipe 4 ont marqué presque les mêmes points en termes de nombre de ventes. Et, l'équipe 1 marquait décemment mais l'équipe 3 marquait le moins.
• Dans la période 2 (deuxième année), l'équipe 1 a surpassé toutes les autres équipes et a marqué le maximum, bien que l'équipe 4 ait également marqué décemment bien juste après l'équipe 1. Comparativement, l'équipe 3 a marqué décemment bien, tandis que l'équipe 2 a marqué le moins.

Étant donné que cette représentation visuelle peut prendre en considération plus d'une variable et différentes périodes dans le temps, le graphique à barres est très utile tout en représentant une grande quantité de données avec diverses variables.

Voyons maintenant comment le graphique à secteurs est utile pour afficher des valeurs dans un ensemble de données.

Diagramme circulaire

Ci-dessus se trouve l'image d'un graphique à secteurs, et cette représentation vous aide à présenter le pourcentage de chaque variable par rapport à l'ensemble de données total. Chaque fois que vous avez un ensemble de données sous forme de pourcentage et que vous devez le présenter de manière à montrer différentes performances de différentes équipes, c'est le bon.

Par exemple, dans le graphique circulaire ci-dessus, il est clairement visible que l'équipe 2 et l'équipe 4 ont des performances similaires sans même avoir à regarder les chiffres réels. Les deux équipes ont surpassé les autres. En outre, cela montre que l'équipe 1 a fait mieux que l'équipe 3. Comme il est si visuellement présentable, un graphique à secteurs vous aide à tirer une conclusion appropriée.

Pour aller plus loin, le dernier de la série est un graphique linéaire.

Graphique en ligne

Avec ce type de représentation, la relation entre deux variables est plus claire à l'aide des axes y et x. Ce type vous aide également à trouver des tendances entre les variables mentionnées.

Dans le graphique linéaire ci-dessus, il y a deux lignes de tendance formant la représentation visuelle de 4 équipes différentes sur deux périodes (ou deux années). Les deux lignes de tendance nous aident à être clairs sur les performances des différentes équipes sur deux ans et il est plus facile de comparer les performances de deux années consécutives.

Cela montre clairement qu'en période 1, l'équipe 2 et l'équipe 4 ont bien performé. Alors qu'en période 2, l'équipe 1 a surclassé les autres.

D'accord, comme nous avons une meilleure compréhension des statistiques descriptives, nous pouvons passer à d'autres concepts mathématiques, leurs formules ainsi que des applications dans le trading algorithmique.

Théorie des probabilités

Remontons maintenant dans le temps et rappelons-nous l'exemple de la recherche des probabilités d'un lancer de dé. C'est une découverte que nous avons tous étudiée.

Étant donné les nombres sur les dés, c'est-à-dire 1, 2, 3, 4, 5 et 6, la probabilité d'obtenir un 1 est de 1 sur 6 ou ⅙. Une telle probabilité est dite discrète dans laquelle il existe un nombre fixe de résultats.

Maintenant, de la même manière, la probabilité d'obtenir un 2 est de 1 sur 6, la probabilité d'obtenir un 3 est également de 1 sur 6, et ainsi de suite. UNdistribution de probabilitéest la liste de tous les résultats d'un événement donné et cela fonctionne avec un ensemble limité de résultats de la manière mentionnée ci-dessus. Mais, dans le cas où les résultats sont importants, des fonctions doivent être utilisées.

Si la probabilité est discrète, nous appelons la fonction une fonction de masse de probabilité. Dans le cas d'un jet de dés, ce sera P(x) = 1/6 où x = {1,2,3,4,5,6}.

Pour les probabilités discrètes, certains cas sont tellement étudiés que leur distribution de probabilité s'est normalisée. Prenons, par exemple,Distribution de Bernoulli, qui prend en compte la probabilité d'obtenir pile ou face lorsque nous lançons une pièce.

Nous écrivons sa fonction de probabilité sous la forme px (1 – p)(1 – x). Ici x est le résultat, qui pourrait être écrit comme pile = 0 et pile = 1.

Maintenant, examinonsla simulation de Monte-Carloà comprendre comment il aborde les possibilités dans le futur, en adoptant une approche historique.

Simulation de Monte-Carlo

On dit que la méthode de Monte Carlo est une méthode stochastique (dans laquelle il y a échantillonnage d'entrées aléatoires) pour résoudre un problème statistique.

Eh bien, pour parler simplement, la simulation de Monte Carlo croit en l'obtention d'une distribution des résultats de tout problème ou donnée statistique en échantillonnant un grand nombre d'entrées encore et encore. En outre, il est dit que de cette façon, nous pouvons surperformer le marché sans aucun risque.

Un exemple de simulation de Monte Carlo peut consister à lancer un dé plusieurs millions de fois pour obtenir la distribution représentative des résultats ou des résultats possibles. Avec autant de résultats possibles, il serait presque impossible de se tromper avec la prédiction du résultat réel à l'avenir. Idéalement, ces tests doivent être exécutés efficacement et rapidement, ce qui valide la simulation de Monte Carlo.

Bien que les prix des actifs ne fonctionnent pas en lançant un dé, ils ressemblent également à unpromenade au hasard.Découvrons maintenant la marche aléatoire.

Marche au hasard

La marche aléatoire suggère que les variations des cours boursiers ont la même distribution et sont indépendantes les unes des autres. Par conséquent, sur la base de la tendance passée du cours d'une action, le prix futur ne peut pas être prédit. En outre, il estime qu'il est impossible de surperformer le marché sans supporter un certain risque.

Revenant à la simulation de Monte Carlo, elle valide sa propre théorie en considérant un large éventail de possibilités et en supposant qu'elle contribue à réduire l'incertitude.

Monte Carlo dit que le problème est quand un seul lancer de dés ou un résultat probable ou quelques autres sont pris en considération. Par conséquent, la solution consiste à comparer plusieurs possibilités futures et à personnaliser le modèle d'actifs et de portefeuilles en conséquence.

Après la simulation de Monte Carlo, il est également important de comprendreThéorème de Bayescar il examine les probabilités futures en fonction de certains événements passés relatables et, par conséquent, est utilisable.

En termes simples, le théorème de Bayes affiche la possibilité de l'occurrence d'un événement basé sur les conditions passées qui auraient pu conduire à un événement relatable.

Par exemple, supposons qu'un groupe d'âge particulier entre 50 et 55 ans ait enregistré un maximum de cas d'arthrite au cours des mois de décembre et janvier de l'année dernière et de l'année dernière à l'année dernière également. Ensuite, on supposera que cette année également dans les mêmes mois, le même groupe d'âge peut être diagnostiqué avec de l'arthrite.

Cela peut être appliqué dans la théorie des probabilités, dans laquelle, sur la base des événements passés en ce qui concerne les cours des actions, les événements futurs peuvent être prédits.

Il existe encore un autre des concepts les plus importants des mathématiques, connu sous le nom d'algèbre linéaire, que nous allons maintenant découvrir.

Algèbre linéaire

Apprenons brièvement sur l'algèbre linéaire.

Qu'est-ce que l'algèbre linéaire ?

En termes simples, l'algèbre linéaire est la branche des mathématiques constituée d'équations linéaires, telles que a1 x1 + ……. + an xn = b,. La chose la plus importante à noter ici est que l'algèbre linéaire est la mathématique des données, dans laquelle les matrices et les vecteurs sont au cœur des données.

Que sont les matrices ?

Une matrice ou les matrices sont une accumulation de nombres disposés dans un nombre particulier de lignes et de colonnes. Les nombres inclus dans une matrice peuvent être des nombres réels ou complexes ou les deux.

Par exemple, M est une matrice 3 par 3 avec les nombres suivants :

0 1 3

4 5 6

2 4 7

Quels sont les vecteurs ?

En termes simples, Vector est ce concept d'algèbre linéaire qui a à la fois une direction et une grandeur.

Par exemple, V est :

[9]

[6]

[-5]

Maintenant, si X =

Alors,

MX = V qui deviendra ,

Dans cette flèche, la pointe de la flèche indique la direction et la longueur de celle-ci est la magnitude.

Les exemples ci-dessus doivent vous avoir donné une idée juste du fait que l'algèbre linéaire concerne uniquement les combinaisons linéaires. Ces combinaisons utilisent des colonnes de nombres appelées vecteurs et des tableaux de nombres appelés matrices, ce qui aboutit à la création de nouvelles colonnes ainsi que de tableaux de nombres.

Il existe une implication connue de l'algèbre linéaire dans la création d'algorithmes ou dans les calculs. Par conséquent, l'algèbre linéaire a été optimisée pour répondre aux exigences des langages de programmation.

De plus, pour améliorer l'efficacité, certaines implémentations d'algèbre linéaire (BLASetLAPACK) configurent les algorithmes de manière automatisée. Cela aide les programmeurs à s'adapter à la nature spécifique du système informatique, comme la taille du cache, le nombre de cœurs, etc.

En code python :

import numpy as npA = np.array ([[0, 1, 3], [4, 5, 6], [2, 4, 7]])print ('rank of A:', np.linalg.matrix_rank ( A))print ('Trace of A:', np.trace (A))print ('\Determinant of A:', np.linalg.det (A))# Inverse of matrix Aprint (“\nInverse of A: ”, np.linalg.inv (A))print (“\nMatrice A élevée à la puissance 3 :\n”,np.linalg.matrix_power(A,3))

La sortie est :

rang A : 3

Trace de A : 12

Déterminant de A : 2,0000000000000004

Passons à un autre concept connu utilisé dans le trading algorithmique appelé régression linéaire.

Régression linéaire

VenirRégression linéaire,il est encore un autre sujet qui aide à créer des algorithmes et est un modèle qui a été développé à l'origine dans les statistiques.

La régression linéaire est une approche de modélisation de la relation entre une variable dépendante scalaire y et une ou plusieurs variables explicatives (ou variables indépendantes) notées x.

Néanmoins, bien qu'il s'agisse d'un modèle statistique, il aide àalgorithme d'apprentissage automatiqueen montrant la relation entre les variables numériques d'entrée et de sortie.

En quoi le Machine Learning est-il utile pour créer des algorithmes ?

L'apprentissage automatique implique une intervention manuelle initiale pour alimenter la machine avec des programmes pour effectuer des tâches, suivie d'une amélioration automatique basée sur la situation sur laquelle le système lui-même travaille.

C'est un tel concept qui est très utile lorsqu'il s'agit de statistiques informatiques. La statistique computationnelle est l'interface entre l'informatique et la statistique mathématique.

Par conséquent, les statistiques informatiques, également appelées analyses prédictives, permettent d'analyser les événements actuels et historiques pour prédire l'avenir avec lequel des algorithmes de trading peuvent être créés.

En bref, l'apprentissage automatique avec son approche systématique pour prédire les événements futurs aide à créer des algorithmes pour un trading automatisé réussi.

Calcul de la régression linéaire

La formule de base de la régression linéaire est :

Y = mx+b

Si vous souhaitez en savoir plus sur la régression linéaire et ses équations avancées, reportez-vous au lienici.

Ci-dessous, vous verrez clairement les représentations de x et y dans le graphique :

Dans le graphique ci-dessus, l'axe des x et l'axe des y montrent tous deux des variables (x et y). Étant donné que davantage de ventes de combinés ou de demande (axe x) de combinés provoquent une augmentation de l'offre (axe y) de ceux-ci, la ligne abrupte se forme.

Ainsi, pour répondre à cette demande croissante, l'offre ou le nombre de combinés augmente également.

Simplement, y = de combien la ligne de tendance monte (offre)

x = jusqu'où va la ligne de tendance (demande)

b = intercepte de y (où la ligne croise l'axe des y)

Dans la régression linéaire, le nombre de valeurs d'entrée (x) est combiné pour produire les valeurs de sortie prédites (y) pour cet ensemble de valeurs d'entrée. Fondamentalement, les valeurs d'entrée et les valeurs de sortie sont numériques.

Pour en savoir plus, veuillez consulter le blogici.

Au fur et à mesure que nous avançons, examinons un autre concept appelé Calculus qui est également impératif pour le trading algorithmique.

Calcul

Le calcul est l'un des principaux concepts du trading algorithmique et a en fait été qualifié decalcul infinitésimal, ce qui signifie l'étude de valeurs qui sont vraiment petites pour être encore mesurées.

En général, le calcul est une étude de changement continu et donc très important pour les marchés boursiers car ils continuent de subir des changements fréquents.

En ce qui concerne les types de calcul, il existe deux termes généraux :

• Calcul différentiel - Il calcule le changement instantané des taux et les pentes des courbes.
• Calcul intégral - Celui-ci calcule les quantités additionnées ensemble.

En calcul, nous calculons généralement la distance (d) dans une période de temps particulière (t) comme :

d = à ^ 2

où d est la distance, a l'accélération et t le temps

Maintenant, pour simplifier ce calcul, supposons que "a" vaut "5".

Donc,
d = 5t^2

Maintenant, si le temps (t) est de 1 seconde et que la distance parcourue doit être calculée dans cette période de temps qui est de 1 seconde, alors,

d=5(1)^2 = 5 mètres/seconde.

Ici, il indique que la distance parcourue en 1 seconde est de 5 mètres.

Mais, si vous voulez trouver la vitesse à laquelle 1 seconde a été parcourue (vitesse actuelle), vous aurez besoin d'un changement de temps, qui sera t .

Or, comme c'est vraiment moins à compter, t+t dénotera o seconde.

Calculons la vitesse entre t et t secondes car nous savons du calcul précédent qu'à 1 seconde, la distance parcourue était de 5m/s.

Maintenant, avec la même formule, nous trouverons également la distance parcourue à 0 seconde (t + t ):

Donc, d = 5 t^2

ré = 5 (t + t )^2 m

d = 5 (1+t )^2 m

En développant (1+t )^2 , nous obtiendrons 1+ 2t + (t)^2

Cela nous amène à d = 5(1+ 2t + (t)^2 ) m

En le résolvant davantage, nous obtiendrons d = 5 + 10t + 5(t)^2 m

Arrivant à la conclusion finale,

Vitesse = distance/ temps donc, ici, vitesse = 5 + 10t + 5(t)^2 m/ t s

Ceci nous amène à la conclusion, 10 + 5t m/s

Puisque t est considéré comme une valeur inférieure à 1 seconde, et que la vitesse doit être calculée à moins d'une seconde (vitesse actuelle), la valeur de t sera proche de zéro.

Par conséquent, la vitesse actuelle = 10 m/s.

Cette étude du changement continu peut être utilisée de manière appropriée avec l'algèbre linéaire et peut également être utilisée dans la théorie des probabilités. En algèbre linéaire, il peut être utilisé pour trouver l'approximation linéaire d'un ensemble de valeurs et en théorie des probabilités, il peut déterminer la possibilité d'une variable aléatoire continue.

Faisant partie de la distribution normale, le calcul peut également être utilisé pour découvrir la distribution normale. Pour en savoir plus sur la distribution normale, lisezici.

Génial! Cela nous amène à la fin de tous les concepts mathématiques essentiels requis pour Quants/HFT/Algorithmic Trading.

Conclusion

Dans l'intégralité de l'article, nous avons couvert divers sujets sur les mathématiques et les statistiques en bourse, c'est-à-dire les mathématiques boursières, ainsi que les sous-sujets connexes.

Le trading algorithmique nécessitant une connaissance approfondie des concepts mathématiques, nous avons appris diverses notions nécessaires à savoir :

• Statistiques descriptives
• Théorie des probabilités
• Algèbre linéaire
• Régression linéaire
• Calcul

Pour les expliquer tous, il y a des sous-thèmes qui vous fournissent des aspects importants et plus profonds de chacun avec leurs équations mathématiques et leurs calculs sur des plateformes comme Excel et Python.

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